Eşkenar dörtgen iç açıları toplamı kaçtır
Hem / Utbildning & Karriär / Eşkenar dörtgen iç açıları toplamı kaçtır
\( [AB] \parallel [DC] \) olduğu için bu açının ölçüsü de \( x \) olur.
\( x + y = 180° \)
\( B \) köşesinin dış açısı \( A \) köşesinin iç açısı ile iç ters açılardır.
Eşkenar Dörtgen
Tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan dörtgene eşkenar dörtgen denir.
\( \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CD} = \abs{DA} = a \)
Bir dörtgenin aşağıdaki özelliklerden en az birini taşıdığı biliniyorsa bu dörtgen bir eşkenar dörtgendir ve diğer özellikleri de taşır.
- 4 kenar uzunluğu eşit (eşkenar dörtgen tanımı)
- Köşegenler birbirini dik kesiyor ve ortalıyor.
- 2 köşegen de açıortay
- Karşılıklı kenarlar paralel ve komşu iki kenar uzunluğu birbirine eşit
- Karşılıklı kenarlar paralel ve köşegenler birbirini dik kesiyor.
Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenar olduğu için, dörtgenler ve paralelkenar bölümünde bahsettiğimiz tüm özellikler eşkenar dörtgen için de geçerlidir.
Giriş bölümünde paylaştığımız dörtgen hiyerarşisine göre; kare eşkenar dörtgenin ek özelliklere sahip özel birer durumu olarak düşünülebilir.
Eşkenar Dörtgenin Kenar ve Köşegen Özellikleri
Eşkenar dörtgenlerin karşılıklı kenarları paraleldir.
\( [AB] \parallel [DC] \)
\( [AD] \parallel [BC] \)
İSPATI GÖSTER
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğuna \( a \) diyelim.
Eşkenar dörtgenin \( [BD] \) köşegenini çizelim ve uzunluğuna \( p \) diyelim.
\( \abs{BD} = p \)
\( ABD \) ve \( CBD \) üçgenlerinin üçer kenar uzunluğu da eşit olduğu için bu iki üçgen eş üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{ABD} \cong \overset{\triangle}{CDB} \)
Eş üçgenlerin iç açı ölçüleri de eşittir.
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{C}) = x \)
\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = y \)
\( m(\widehat{CDB}) = m(\widehat{CBD}) = y \)
\( ABD \) üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.
\( x + y + y = 180° \)
\( x + 2y = 180° \)
Eşkenar dörtgenin \( B \) ve \( C \) köşelerinin açıları toplamını bulalım.
\( m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = x + 2y \)
Bu değeri yukarıda 180° olarak bulmuştuk.
\( = 180° \)
Buna göre \( B \) ve \( C \) köşelerinin açıları bütünler açılardır.
\( [AB] \) ve \( [DC] \) doğru parçalarını kesen \( [BC] \) doğru parçasının oluşturduğu karşı durumlu iki açı bütünler açılarsa \( [AB] \) ve \( [DC] \) paralel olmak zorundadır.
\( [AB] \parallel [DC] \)
Aynı ispatı \( [AD] \) ve \( [BC] \) kenarları için de yapabiliriz.
\( [AD] \parallel [BC] \)
Buna göre bir eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir.
İspatta hata bildirin
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser.
\( \abs{AC} \perp \abs{BD} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıda eşkenar dörtgenin açı özellikleri bölümünde ispatını yapacağımız üzere, eşkenar dörtgenin köşegenleri aynı zamanda birer açıortaydır.
\( m(\hat{A}) = x \) ise,
\( m(\widehat{DAK}) = m(\widehat{KAB}) = \dfrac{x}{2} \)
\( m(\hat{D}) = y \) ise,
\( m(\widehat{CDK}) = m(\widehat{KDA}) = \dfrac{y}{2} \)
Eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğu için \( \hat{A} \) ve \( \hat{D} \) bütünler açılardır.
\( x + y = 180° \)
\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 90° \)
\( DAK \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.
\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} + m(\widehat{DKA}) = 180° \)
\( 90° + m(\widehat{DKA}) = 180° \)
\( m(\widehat{DKA}) = 90° \)
İspatta hata bildirin
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortalar.
\( \abs{AK} = \abs{KC} \)
\( \abs{DK} = \abs{KB} \)
İSPATI GÖSTER
Eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçüleri eşittir ve köşegenler aynı zamanda iç açıortaydır.
\( m(\widehat{KAB}) = m(\widehat{KCD}) \)
\( m(\widehat{KBA}) = m(\widehat{KDC}) \)
Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.
\( \abs{AB} = \abs{CD} = a \)
Tüm açıları ve birer kenarı eş olan iki üçgen eş üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{ABK} \cong \overset{\triangle}{CDK} \)
Eş üçgenlerin birbirine karşılık gelen kenar uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{AK} = \abs{CK} \)
\( \abs{BK} = \abs{DK} \)
Buna göre karşılıklı kenarları paralel olan eşkenar dörtgende köşegenler birbirini ortalar.
İspatta hata bildirin
Tüm dörtgenlerde kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgen bir paralelkenardır, köşegenleri birbirine dik olan eşkenar dörtgende bu dörtgen bir dikdörtgendir.
Geometrik şekillerin anlaşılması, matematiksel düşünme becerilerinin gelişmesine de katkı sağlamaktadır.
Eşkenar dörtgenin köşegenleri aynı zamanda birer açıortaydır.
\( [AC] \) köşegeni eşkenar dörtgenin birbirine paralel iki kenarını kestiği için, aşağıdaki iki açı iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir:
\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCA}) \)
Eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları eşit olduğu için, \( ABC \) üçgeni ikizkenardır, dolayısıyla aşağıdaki iki açının ölçüsü de eşittir.
\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) \)
Dolayısıyla, aşağıdaki iki açının ölçülerinin eşit olduğunu, yani köşegenin aynı zamanda açıortay olduğunu göstermiş olduk.
\( m(\widehat{DCA}) = m(\widehat{BCA}) \)
İspatta hata bildirin
Eşkenar Dörtgenin Çevresi ve Alanı
Eşkenar dörtgenin çevresi bir kenar uzunluğunun dört katına eşittir.
\( \text{Ç}(ABCD) = 4a \)
Eşkenar dörtgenin alanı bir kenar uzunluğu ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
\( A(ABCD) = a \cdot h \)
Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik kestiği için, alanı köşegenlerin uzunlukları çarpımının yarısına eşittir.
İç açılarının toplamı ise herhangi bir dörtgenin iç açılarının toplamı ile aynıdır.
İç Açıların Toplamı Formülü
Dörtgenlerin iç açılarının toplamı genel olarak şu formülle bulunur:
\text{İç açıların toplamı} = (n - 2) \times 180^\circ
Burada n dörtgenin kenar sayısıdır. Matematiksel bir terim olarak, eşkenar dörtgenin özellikleri arasında simetri, paralellik ve açıların eşitliği bulunur.
Geometrik tasarımlar, mimari yapılar ve çeşitli mühendislik uygulamalarında sıkça kullanılmaktadır.
Sonuç
Sonuç olarak, eşkenar dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir ve her bir iç açısı 90° olarak hesaplanmaktadır. Dörtgen için n=4 olduğu için:- İç Açılar Toplamı = (4 - 2) × 180° = 2 × 180° = 360°
Eşkenar Dörtgenin İç Açıları
Eşkenar dörtgenin iç açıları arasında simetrik bir ilişki bulunmaktadır.
Eşkenar dörtgen için n=4 olduğundan:
- İç açıların toplamı = (4-2) 180 = 2 180 = 360 derece
Bu durumda, bir eşkenar dörtgenin iç açıları toplamı 360 derecedir.
İç Açıların Bireysel Değerleri
- İç açı = 360 derece / 4 = 90 derece
Bu durumda, her bir iç açı 90 derece olarak bulunur.
Her biri eşit açıya sahip olan bu dörtgenin iç açıları, 360°'yi eşit dört parçaya böldüğünde:- Her bir iç açı = 360° / 4 = 90°Dolayısıyla, eşkenar dörtgenin her bir iç açısı 90°'dir.
Özellikleri ve Ekstra Bilgiler
- Dört kenarı eşit uzunluktadır.
- Karşılıklı açılar eşittir.
- Komşu açılar toplamı 180°'dir.
- Çizgisel simetri ve döngüsel simetri özelliklerine sahiptir.
- İç açıları toplamı her dörtgen için 360°'dir.
Eşkenar dörtgen, hem matematiksel hem de uygulamalı alanlarda önemli bir yere sahiptir.
Bu özellikleri, eşkenar dörtgenin çeşitli alanlarda kullanımını ve önemini artırmaktadır. \( [AB] \parallel [DC] \) olduğu için bu açının ölçüsü \( y \) olur.
\( x + y = 180° \)
Buna göre paralelkenarda karşılıklı köşelerin açıları birbirine eşittir ve komşu köşe açıları bütünler açılardır.
İspatta hata bildirin
Eşkenar dörtgende komşu köşe açıları bütünler açılardır.
Aşağıda bu kuralın karşılıklı kenarları paralel olan tüm dörtgenler için geçerli olan ispatı verilmiştir.
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{C}) = x \)
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{D}) = y \)
İSPATI GÖSTER
\( ABCD \) paralelkenarının üst ve yan kenarlarını uzatalım (mavi kesikli çizgiler).
\( A \) köşesinin açı ölçüsüne \( x \), \( B \) köşesinin açı ölçüsüne \( y \) diyelim.
\( D \) köşesinin dış açısı \( A \) köşesinin iç açısı ile iç ters açılardır.
Eşkenar dörtgenin iç açıları, geometrik özellikleri ve matematiksel ilişkileri açısından ilgi çekicidir. Özellikle inşaat ve yapı tasarımında, eşkenar dörtgenin stabilitesi ve dayanıklılığı göz önünde bulundurularak tercih edilmektedir.
Sonuç
Eşkenar dörtgenlerin iç açıları toplamı 360 derece olarak hesaplanmaktadır. Bu özellik, eşkenar dörtgenlerin matematiksel ve geometrik incelemeleri açısından önemli bir yer tutar.
\( [AD] \parallel [BC] \) olduğu için bu açının ölçüsü \( x \) olur.
\( x + y = 180° \)
\( C \) köşesinin dış açısı \( B \) köşesinin iç açısı ile iç ters açılardır. Öğrenciler için temel bir kavram olan eşkenar dörtgen, ileri düzey matematik çalışmaları için de önemli bir referans noktasıdır.
Eşkenar dörtgenin iç açılarının toplamı kaçtır
Eşkenar dörtgenin iç açılarının toplamı kaçtır?
Cevap:
Eşkenar dörtgen, dört kenarı eşit uzunlukta olan bir dörtgendir.
Bu, eşkenar dörtgenin bir kare olduğu anlamına gelmektedir.
Özellikleri ve Kullanım Alanları
- Karşılıklı kenarlar paraleldir.
- Karşılıklı açıları eşittir.
- Kenarlar eşit uzunluktadır.
- Çizgisel simetriye sahiptir.
Bu özellikler, eşkenar dörtgenin çeşitli mühendislik ve mimarlık alanlarında kullanımına olanak tanır.
Eşkenar dörtgenler, kareler de dahil olmak üzere birçok geometrik şeklin temelini oluşturur.
İç Açıların Toplamı
Eşkenar dörtgende tüm kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları eşittir.
Eşkenar dörtgenin köşegen uzunluklarının karelerinin toplamı, bir kenar uzunluğunun karesinin dört katına eşittir.
\( p^2 + q^2 = 4a^2 \)
İSPATI GÖSTER
Köşegenlerin oluşturduğu üçgenlerden birine Pisagor teoremini uygulayalım.
\( (\dfrac{p}{2})^2 + (\dfrac{q}{2})^2 = a^2 \)
\( \dfrac{p^2}{4} + \dfrac{q^2}{4} = a^2 \)
\( p^2 + q^2 = 4a^2 \)
İspatta hata bildirin
Eşkenar Dörtgenin Açı Özellikleri
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, eşkenar dörtgenin iç açıları toplamı da, dış açıları toplamı da \( 360° \)'dir.
Eşkenar dörtgende karşılıklı köşelerin açıları birbirine eşittir.