Karakteristiska ekvationen differentialekvationer
Hem / Historia, Vetenskap & Forskning / Karakteristiska ekvationen differentialekvationer
In our discussion of homogeneous equations, we’ve laid out how to find the general solutions of the homogeneous differential equations based on their characteristic equations.
Roots’ Nature | Solution’s General Form |
The characteristic equation’s roots are real and distinct. | \begin{aligned}y(x) &= C_1e^{r_1 x} + C_2e^{r_2 x} +…+ C_ne^{r_n x} \end{aligned} |
There exists identical roots within the characteristic equation’s solutions. $m$ roots: $\{r_1, r_2, …,r_m\}$ The multiplicity may vary, so let’s generalize the multiplicity as: multiplicity: $\{k_1, k_2, …,k_m\}$ | \begin{aligned}y(x) &= C_1e^{r_1 x} + C_2xe^{r_1 x} + …+C_{k_1}x^{k_1 – 1}e^{r_1 x}+…\\&+C_{n -k_m +1}e^{r_m x} +C_{n -k_{m}+ 2}xe^{r_m x} + …+C_nx^{k_m -1}e^{r_m x}\end{aligned} |
The characteristic equation’s roots are complex and unique. \begin{aligned}r_{1,2} &= \alpha + \beta i\\ r_{3,4 }&= \gamma- \delta i\\&.\\&.\\&.\end{aligned} | \begin{aligned}y= {e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) + {e^{\gamma x}}\left( {{C_3}\cos \delta x + {C_4}\sin \delta x} \right) + \cdots\end{aligned} |
We’ve covered everything that we need to know about characteristic equations and homogeneous equations.
Here are a few more examples of linear homogeneous differential equations and their corresponding characteristic equations:
Linear Homogeneous Differential Equations | Characteristic Equations |
\begin{aligned}y^{\prime \prime}–4y^{\prime} -5y&= 0\end{aligned} | \begin{aligned}r^2–4r-5 &= 0\end{aligned} |
\begin{aligned}y^{\prime \prime}+6y^{\prime} + 9y&= 0\end{aligned} | \begin{aligned}r^2+ 6r+9 &= 0\end{aligned} |
\begin{aligned}4y^{\prime \prime} – 12y^{\prime} + 9y &= 0\end{aligned} | \begin{aligned}4r^2–12r+9&= 0\end{aligned} |
Now, let’s work on the first given differential equation, $y^{\prime \prime} – 4y^{\prime} + 4y = 0$.
The equation is required to hold for all \( x \) in the interval \( I \).
The process for establishing rules for characteristic equations for higher order and more complex homogeneous equations will be similar.
How To Find the Characteristic Equation and Apply It in Differential Equations?
From the previous section, we find the characteristic equation by assigning the differentials as a variable.
a. När vi avser första- respektive andraderivatan har vi följande sätt att skriva med hjälp av Lagranges notation och Leibniz notation:
$$y'(x)=\frac{dy}{dx}$$
$$y''(x)=\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$$
Nedan har vi ett exempel, där vi har skrivit samma differentialekvationer av andra ordningen dels med Lagrange notation och dels med Leibniz notation:
$$y''+3y'+5y=0$$
$$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}+3\frac{dy}{dx}+5y=0$$
Att använda Leibniz notation kan uppfattas som mer omständigt än Lagrange notation, men den kan ändå underlätta vissa beräkningar och är så vanligt förekommande att man bör vänja sig vid denna notation.
c.
For this reason, we will introduce the concepts gradually, with the goal of building a solid understanding of the methods used to solve them.
Solutions of a differential equation
In general, a differential equation may admit infinitely many solutions. We’ll also show you the significance of the characteristic equations when solving differential equations and have provided some examples for you to work on as well.
What Is the Characteristic Equation?
The characteristic equation of a linear and homogeneous differential equation is an algebraic equation we use to solve these types of equations.
$6r^2 – 36r + 54 = 0$
b. Eftersom bakterier förökar sig genom celldelning, vilken sker med en viss hastighet, kan förändringshastigheten vid en tidpunkt t anses vara proportionell mot antalet bakterier vid tidpunkten t.
Detta gör att vi kan formulera följande differentialekvation, som beskriver situationen:
$$y\,'(t)=k\cdot y(t)$$
där y'(t) betecknar förändringshastigheten avseende antal bakterier vid tidpunkten t, och y(t) betecknar antalet bakterier vid tidpunkten t, och k är en proportionalitetskonstant.
Verifiering av en differentialekvations lösning
Lösningen till en differentialekvation är en funktion som uppfyller den likhet som ekvationen uttrycker, det vill säga en funktion som gör att differentialekvationens vänstra led blir lika med dess högra led.
Därför måste funktionen vara
$$y(t)=1000\cdot {e}^{0,10t}$$
Detta ger oss förändringshastigheten
$$y\,'(t)=0,10\cdot y(t)=$$
$$=0,10\cdot (1000\cdot {e}^{0,10t})=$$
$$=100\cdot e^{0,10t}$$
Förändringshastigheten vid tiden t = 10 timmar blir då
$$y\,'(10)=100\cdot e^{0,10\cdot 10}=$$
$$=100\cdot {e}^1=100e\approx270$$
Vid tidpunkten t = 10 timmar ökar alltså antalet bakterier i bakterieodlingen med ungefär 270 bakterier per timme.
Differentialekvationers ordning
I exemplet ovan, där vi formulerade en differentialekvation som uttryckte förändringshastigheten för antalet bakterier i en bakterieodling, var förstaderivatan (y'(t)) den högsta ordningens derivata som förekom i differentialekvationen.
"Differential Equations". Write down the characteristic equations of the linear homogeneous differential equations shown below.
a. $y = C_1e^{-4x} + C_2e^{6x}$
3.$y = C_1 \sin (2x) + C_2\cos(3x) +C_3x \sin (2x) + C_4x\cos (2x)$
4.
a. An example of a differential equation is:
\[ f’(x) + x f(x) = 0 \quad \text{or} \quad y’ + x y = 0 \]
Order of a differential equation
The order of a differential equation is defined as the order of the highest derivative that appears in the equation.
We obtain:
\[ \frac{y’}{b(y)} = a(x) \]
We then integrate both sides with respect to \( x \), obtaining:
\[ \int \frac{y(x)’}{b(y(x))}\, dx = \int a(x) \, dx + c \]
By substituting \( y = y(x) \), we obtain:
\[ \int \frac{dy}{b(y)}\, dx = \int a(x) \, dx + c \]
Example 2
Let’s solve the differential equation:
\[y’ = xy\]
We have a separable differential equation.
Determine the particular solution of the equation with the following initial conditions:
\begin{aligned}\{y(0) = -2, y^{\prime}(0) =6, y^{\prime\prime}(0) = -12\}\end{aligned}
Answer Key
1. Vi kommer därför att kunna skriva lösningen på denna differentialekvation som
$$y(t)=C\cdot {e}^{kt}$$
där C är en konstant som anger antalet bakterier vid tidpunkten t = 0, och k är proportionalitetskonstanten.
Att denna funktion är en lösning till vår formulerade differentialekvation kan vi se genom att vi deriverar funktionen med hjälp av våra redan kända deriveringsregler för exponentialfunktioner, vilket ger oss följande derivata:
$$y\,'(t)=k\cdot C\cdot {e}^{kt}$$
Sätter vi in uttrycken för funktionen och funktionens derivata i vår differentialekvation, så får vi
$$y\,'(t)=k\cdot y(t)$$
$$k\cdot C\cdot {e}^{kt}=k\cdot (C\cdot {e}^{kt})$$
Eftersom ekvationens vänstra led nu är lika med dess högra led har vi hittat en lösning till differentialekvationen.
Vi är intresserade av att beräkna förändringshastigheten räknat i antal bakterier per timme i vårt tidigare exempel vid en viss tidpunkt, säg t = 10 timmar efter experimentets början.
Om vi vet att antalet bakterier vid experimentets början (t = 0 timmar) var 1000 st.
From Algebrica.org
https://algebrica.org/differential-equations/
Updated: 06:09 PM • 14 May 2025
Differentialekvationer
I det här avsnittet ska vi introducera begreppet differentialekvation och studera hur sådana ekvationer kan användas. $y = \dfrac{1}{8} \sin (2x) + \dfrac{1}{16}\cos (2x) + \dfrac{31}{16} + \dfrac{1}{16}x + \dfrac{1}{8}x^2$
Laplaces ekvation och Poissons ekvation
Andra ordningens linjära ODE:er
En andra ordningens linjär ordinär differentialekvation ser ut enligt följande:
$$y'' + a(x)y' + b(x)y + c(x) = 0 \tag{1}$$
Dessa är svårare att lösa än första ordningens, men om $b(x) = 0$ så kan vi substituera $u = y'$ och vi får då en första ordningens ekvation
$$u' + a(x)u + c(x) = 0$$
som vi kan lösa enligt tidigare metoder, och sedan integrera.
Om $a(x)$ och $b(x)$ är konstanter och så kan vi lösa den homogena ekvationen, varpå vi kan lösa den inhomogena genom att lägga till en partikulärlösning.
These roots will determine the form of the homogeneous solution’s nature. The equation\(y’ = y^2 – 1\) is autonomous, since the right-hand side depends only on \( y \), not on the independent variable \( x \).
Given a differential equation along with a set of initial conditions, the problem of finding a solution that satisfies both the equation and the specified conditions is called a Cauchy problem.
In this case, the solution is obtained by integrating both sides of the equation, yielding:
\[\int y’ \, dx = \int f(x) \, dx \]
For this type of equation, the general solution is given by:
\[ y(x) = \int f(x) \,dx + c \]
where \( c \in \mathbb{R} \) is an arbitrary constant.
Example 1
Let’s solve the differential equation:
\[ y’ – 3x = 0 \]
Let’s rewrite it in standard form and integrate both sides:
\[ y’ = 3x \]
\[ \int y’ \,dx = \int 3x \, dx \rightarrow y(x) = \frac{3}{2}x^2 + c \]
The solutions are represented by the integral curves given by the equation:
\[y(x) = \frac{3}{2}x^2 + c\]
Each curve represents a particular solution of the general form.
A general solution is a family of functions depending on \( n \) arbitrary constants, where \( n \) corresponds to the order of the equation. Find the solutions to the differential equation, $y^{\prime\prime} +2y^{\prime} -24y = 0$.
3. We begin by writing down the characteristic of the equation.
\begin{aligned}y^{\prime\prime}+7y^{\prime}+10y &= 0 \\\downarrow \phantom{xxx}\\r^2 + 7r + 10&= 0\end{aligned}
Find the roots of the resulting quadratic equation by factoring the right-hand side of the expression.
\begin{aligned}(r + 2)(r + 5)&= 0\\r=-2, r&=-5\end{aligned}
This means that $y = e^{-2x}$ and $y = e^{-5x}$ are independent solutions, so we can use them to write down the general solution of the differential equation.
\begin{aligned}y&= C_1e^{-2x}+C_2e^{-5x}\end{aligned}
Example 3
Find the solution to the differential equation, $y^{\prime\prime\prime} + 4^{\prime\prime} -7y^{\prime} -10y =0$.
a.