Pendelrörelse formel
Hem / Historia, Vetenskap & Forskning / Pendelrörelse formel
Pendels acceleration är negativ, eftersom pendeln förlorar energi på grund av friktionen.
3. Om vi inte skulle räkna på en matematisk pendel så stöter vi på en fysikalisk pendel.
Pendelrörelse
Har detta i uppgift:
Uppgifter:
För godkänd nivå:
Använd en enkel numerisk stegmetod:
1.Anta att pendeln har, till exempel, en längd (L) på 1 meter och att startvinkeln (θ0) är 45°.
Luftmotståndet är försumbart.
Likformiga trianglar ger
\[\frac{F}{mg}=\frac{d}{\ell}⇒ F = mg\cdot \frac{d}{\ell}\]
När \(\alpha\) är liten kan \(d\) approximeras med \(s\) och vi får
\[F = \frac{mg}{\ell}\cdot s\]
Härmed är den återförande kraften \(F\) proportionell mot elongationen \(s\) och vi får en harmonisk svängning.
I detta fall skrivs den som
$s = A \sin (\omega t + \varphi)$
Där A är amplituden, $\omega$ är vinkelfrekvensen och $\varphi$ är en konstant vinkel.
Vidare gäller för en enkel harmonisk svängning att
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
och
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Dessa är supervanliga att använda när du räknar på en harmonisk pendel med en fjäder!
Konisk pendel
När pendeln rör sig cirkulärt kring dess fixa vertikala axel så skapas en konisk rörelse.
Kontakta oss på: [email protected]
Harmoniska svängningar är periodiska rörelser kring ett jämviktsläge och mellan två ytterlägen. Vi får då för svängningstiden med liten utslagsvinkel
\[T = 2\pi \sqrt{ \frac{m}{k} } ⇒ 2\pi \sqrt{ \frac{\ell}{g} }\]
Vid längre utslagsvinkel, t ex 45 grader är pendelrörelsen inte längre harmonisk och svängningstiden blir något förlängd, \(4\%\) längre än den tid man får med sambandet \(2\pi \sqrt{ \frac{\ell}{g} }\)
Som vi ser är omloppstiden oberoende av massan.
En harmonisk rörelse eller harmonisk pendelrörelse innebär att en rätlinjig rörelse kan representeras som en sinusvåg utan förluster. Uppdatera pendelns vinkel (θ) och hastighet (ω) med hjälp av Eulers numerisk stegmetod:
θ = θ+ω*dt och ω = ω + α*dt
För tidssteg dt=0,1:
θ = θ+ω*dt, där θ=45° och i radianer θ=π/4, ω=0, dt=0,1
θ = π/4+0*0,1=0,786 radianer (rad).
Grader = (0,786 * 180) / π=45°
ω = ω + α*dt, där α = - 6,9 m/s2.
ω = 0 + (-6,9)*0,1= - 0,69 rad/s.
För tidssteg dt=0,2:
Nu är θ = 0,786 radianer och ω = - 0,69 m/s2.
Räkna ut en ny vinkel: θ = θ+ω*dt=0,786+(- 0,69)*0,2= 0,648 radianer (rad).
För att konvertera radianer till grader använd följande formel:
Grader = (Radianer * 180) / π
Sätt in värdet av 0,648 radianer:
Grader = (0,648 * 180) / π
Beräkna detta: Grader ≈ (116,64 / π) ≈ 370.
Räkna ut en ny vinkelhastighet: ω = ω + α*dt= - 0,69 + (-6,9)*0,2= - 2,07 rad/s.
4.
Vi har i en tidigare lektion även tagit fram ett uttryck för periodtiden för en vikt i en fjäder: $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$=2π√
Vi ska i den här lektionen titta på ett annat system som också utför en harmonisk svängningsrörelse, en pendel.
Pendelrörelse
Resonans
Fördjupning: Svängningsrörelse ”på riktigt”
Nästa lektion
Plan pendel
I figuren ser vi en kula som hänger i ett snöre som svänger fram och tillbaka i ett plan.
Den är något mer avancerad och kräver lite mekanikkunskaper på universitetsnivå för att förstå. Pendels acceleration är α = -(g/L) * sin(θ), där g är tyngdaccelerationen (vanligtvis 9,8 m/s^2).
α = - (g/L) * sin(θ)= - 9,82/1*sin(45)= - 6,9 m/s2. Under hela förloppet är hastighetsriktningen tangentiell med kulans nedre periferi.
En enkel harmonisk svängning innebär att vi kan beskriva oscillationen med hjälp av enbart en sinusfunktion.
Dess energi bevaras under förloppet och omvandlas mellan rörelseenergi och lägesenergi. Svängningens elongation är cirkelbågen \(s\), och den återförande kraften \(F\) är tyngdkraftens komposant längs bågens tangent. Den enda kraften som verkar på en harmonisk pendel är partikelns egen tyngdkraft $mg$, det kallas också för en gravitationspendel.
Om vikten dras ner en sträcka och sedan släpps utför systemet en harmonisk svängningsrörelse – rörelsen sker mellan två ytterlägen och kring ett jämviktsläge. Om kulan är liten i förhållande till snörets längd och snöret lätt har vi en så kallat matematisk pendel.
De krafter som verkar på pendelkulan framgår av figuren.
Formeln för den koniska pendeln är
$T= 2 \pi \sqrt{\frac{l \cdot \cos \alpha}{g}}$
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
KÖP PREMIUM
Så funkar det för:
Elever/StudenterLärareFöräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration.
- \( \ell \) = pendelns längd (\(m\))
- g = gravitationsaccelerationen (\(m/s^2\))
Vi kan med detta skriva formeln för en matematisk pendel som nedan, där T är svängningstiden.
I vändlägena hos pendeln är hastigheten noll medan lägesenergin är som störst.
Det sker alltså fria odämpade svängningar (oscillationer).