Förkortning och förlängning av bråk

Två grundläggande men kraftfulla tekniker att bemästra är förlängning och förkortning av bråk. I den här genomgången förklarar vi båda teknikerna och när du kan behöva använda dem.

Förlängning av bråk

Förlängning av ett bråk innebär att multiplicera både täljaren (den övre delen av ett bråk) och nämnaren (den nedre delen) med samma tal.

Eftersom täljaren 25 är större än täljaren 24, är

$$ \frac{25}{40}\,\,större\,än\,\,\frac{24}{40}$$

vilket betyder att

$$ \frac{5}{8}\,\,är\,större\,än\,\,\frac{3}{5}$$

Förläng följande bråktal så att nämnaren blir lika med 100

1. $$\frac{3}{4}$$
   Eftersom vi vill förlänga bråktalet så att dess nämnare blir lika med 100, får vi undersöka vilket tal 4 behöver multipliceras med för att produkten ska bli lika med 100.

   Därför är det nu skrivet i sin enklaste form.

2. ---

   $$\frac{14}{42}$$
   I den här uppgiften börjar vi med att undersöka vilket tal vi kan förkorta bråktalet med. Men se upp! Genom att förlänga bråken till en gemensam nämnare blir de enkla att räkna ihop.

3. Förenklar uttryck: Genom att förlänga ett bråk kan du få lättare att arbeta med ekvationer eller algebraiska uttryck.

Exempel på addition:

Låt oss säga att du ska addera och .

Vi dividerar därför täljaren och nämnaren med 4:

Bråket har nu förkortats och förenklats till , vilket är enklare att arbeta med.

När använder man förkortning av bråk?

Förkortning används när du vill förenkla bråk för att göra beräkningar lättare. Om du vill förlänga bråket med 2, multiplicerar du både täljaren och nämnaren med 2:

Bråket är ekvivalent med , vilket betyder att de representerar samma värde men i olika form.

När använder man förlängning av bråk?

Förlängning av bråk används oftast när du:

• Adderar eller subtraherar bråk med olika nämnare.

  Om vi till exempel vill förkorta två fjärdedelar, så kan vi dividera både täljaren och nämnaren med 2. Genom förkortning förenklar du bråket, vilket ofta gör det lättare att arbeta med.

  Hur förkortar man ett bråk?

  För att förkorta ett bråk måste du hitta en gemensam faktor (ett tal som både täljaren och nämnaren kan delas med) och sedan dividera båda med det talet.

  Exempel på förkortning:

  Tänk dig att du har bråket .

  Ett sätt att ta reda på det är genom att förlänga bråken, så att bråktalen har samma nämnare.

  Till exempel kan vi vilja bestämma vilket av bråken

  $$ \frac{3}{5}$$

  $$och$$

  $$ \frac{5}{8}$$

  som är störst.

  Vi börjar med att lägga märke till att de båda bråken har olika nämnare.

  Därför förkortar vi bråktalet med 5:

  $$ \frac{20}{35}=\frac{\,\,\frac{20}{{\color{Red} 5}}\,\,}{\frac{35}{{\color{Red} 5}}}=\frac{4}{7}$$

  Nu kan vi inte förkorta bråktalet längre. Man kan inte förlänga och förkorta med addition och subtraktion. Det används ofta när:

  • Du löser ekvationer med bråk och vill förenkla uttrycken för att enklare kunna manipulera dem.
  • Svar i uppgifter behöver lämnas i sin enklaste form på högskoleprovet.

  Exempel på förkortning:

  Tänk dig att du löser en uppgift på högskoleprovet och får resultatet .

  I själva verket finns här fler än ett tal som vi skulle kunna förkorta med, men vi ser direkt att både täljaren (14) och nämnaren (42) är jämna tal, så de måste vara jämnt delbara med 2. För att kunna addera dessa måste de ha samma nämnare. Till exempel kan vi vilja förkorta det här bråktalet:

  $$ \frac{9}{15}$$

  Om vi undersöker detta bråktals täljare och nämnare, så kan vi lägga märke till att såväl täljaren som nämnaren är jämnt delbara med 3.

  Därför kan vi förkorta bråktalet med 3 genom att dividera täljaren och nämnaren med 3:

  $$ \frac{9}{15}=\frac{\,\,\frac{9}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{15}{{\color{Red} 3}}}=\frac{3}{5}$$

  Vi kom alltså fram till att nio femtondelar är lika mycket som tre femtedelar. Det innebär att vi bara behöver jämföra deras täljare för att komma fram till vilket av bråktalen som är störst.

  Därför förkortar vi bråktalet med 2:

  $$ \frac{14}{42}=\frac{\,\,\frac{14}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{42}{{\color{Red} 2}}}=\frac{7}{21}$$

  Kan vi förkorta bråktalet ännu mer? Om vi vill kunna jämför de båda bråktalen ovan, så vill vi hitta lämpliga tal att multiplicera med. Därför behöver vi skriva om bråktalen, så att de har samma nämnare och vi därigenom kan jämföra bråktalens värden.

  När vi vill förlänga ett bråk, multiplicerar vi såväl täljaren som nämnaren med ett visst tal.

  För att bli riktigt säker på dessa moment rekommenderas det att du övar på gamla prov och bråkräkning i olika former.

  Tips inför högskoleprovet:

  • Lär dig känna igen när förlängning eller förkortning behövs: Träna på uppgifter där bråken har olika nämnare eller där svaret behöver förenklas.
  • Använd miniräknare smart: Även om miniräknare är tillåtet, är det viktigt att förstå principerna bakom förlängning och förkortning för att kunna kontrollera dina resultat.
  • Öva på gemensamma nämnare och faktorer: Ju snabbare du kan hitta dessa, desto snabbare kan du lösa uppgifterna.

  Besök vår sida för fler mattegenomgångar inför högskoleprovet och ta del av fler exempel, övningar och quiz som hjälper dig att lyckas på provet!